İstatistik Temelleri ve SPSS’e Giriş · Ders 3/14
Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri
Ortalama, ortanca, mod, ranj, varyans, standart sapma ve çeyrekleri küçük elle hesap örnekleriyle öğrenir, hangisini ne zaman kullanacağını kavrarsın.
Bir veri setini iki soruyla özetleyebilirsin: “Değerler tipik olarak nerede toplanıyor?” (merkezi eğilim) ve “Değerler birbirinden ne kadar farklı?” (yayılım). Yalnızca birini raporlamak eksik bir resim verir. Ortalaması 70 olan iki sınıftan birinde herkes 65–75 arası alırken ötekinde notlar 20 ile 100 arasında dağılıyor olabilir.
Merkezi eğilim ölçüleri
- Aritmetik ortalama (M, X̄)
- Tüm değerlerin toplamının değer sayısına bölümüdür. En çok kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür; tüm değerleri hesaba kattığı için uç değerlerden çok etkilenir.
- Ortanca (medyan, Mdn)
- Değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada kalan değerdir. Değer sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalaması alınır. Uç değerlerden etkilenmez.
- Mod (tepe değer)
- En sık tekrar eden değerdir. Bir veri setinin birden fazla modu olabilir ya da hiç modu olmayabilir. Nominal değişkenlerde kullanılabilecek tek merkezi eğilim ölçüsüdür.
Veri (saat): 4, 6, 7, 7, 8, 10
Ortalama = (4 + 6 + 7 + 7 + 8 + 10) / 6 = 42 / 6 = 7
Ortanca: Değer sayısı çift (6). Ortadaki iki değer 7 ve 7 → (7 + 7) / 2 = 7
Mod: 7 (iki kez geçiyor)
Sonuç: Üç ölçü de 7. Dağılım simetrik olduğunda ortalama, ortanca ve mod birbirine yakın çıkar.
Yedi kişinin aylık harçlığı (bin TL): 3, 4, 4, 5, 5, 6, 30
Ortalama = 57 / 7 ≈ 8,14
Ortanca = sıralı listede 4. değer = 5
Mod = 4 ve 5 (iki modlu)
Yorum: Yedi kişiden altısı 6 bin TL ya da daha azını alırken ortalama 8,14 çıkıyor. Tek bir uç değer (30) ortalamayı yukarı çekti. Bu veri için ortanca (5) “tipik” öğrenciyi çok daha iyi anlatır.
| Durum | Önerilen ölçü | Neden |
|---|---|---|
| Nominal değişken (fakülte, cinsiyet) | Mod | Sıra ve sayısal anlam yoktur |
| Ordinal değişken (sınıf düzeyi, tek Likert maddesi) | Ortanca (ve mod) | Sıra vardır ama aralıklar eşit değildir |
| Aralık/oran, yaklaşık simetrik dağılım | Ortalama | Tüm bilgiyi kullanır, parametrik testlerle uyumludur |
| Aralık/oran, belirgin çarpık dağılım ya da uç değerler | Ortanca (ortalamayla birlikte) | Uç değerlerden etkilenmez |
Yayılım ölçüleri
- Ranj (açıklık)
- En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Hesaplaması kolaydır ama yalnızca iki uç değere dayandığı için çok kırılgandır.
- Varyans (s²)
- Değerlerin ortalamadan sapmalarının karelerinin ortalamasıdır (örneklemde n – 1’e bölünür). Birimi, ölçülen birimin karesi olduğu için (saat²) doğrudan yorumlanması zordur.
- Standart sapma (SS, SD, s)
- Varyansın kareköküdür. Değerlerin ortalamadan “tipik olarak” ne kadar uzaklaştığını, ölçülen değişkenin kendi biriminde gösterir. Ortalamayla birlikte en sık raporlanan yayılım ölçüsüdür.
Elle hesap 3: Standart sapma (veri: 4, 6, 7, 7, 8, 10; ortalama = 7)
- 1
Her değerden ortalamayı çıkar
4 – 7 = –3; 6 – 7 = –1; 7 – 7 = 0; 7 – 7 = 0; 8 – 7 = 1; 10 – 7 = 3. (Sapmaların toplamı her zaman 0’dır; bu yüzden kare alırız.)
- 2
Sapmaların karesini al
9, 1, 0, 0, 1, 9
- 3
Kareleri topla
9 + 1 + 0 + 0 + 1 + 9 = 20 (kareler toplamı)
- 4
n – 1’e böl (varyans)
n = 6 olduğundan 20 / 5 = 4. Örneklem varyansı s² = 4 saat².
- 5
Karekökünü al (standart sapma)
√4 = 2. Öğrenciler ortalamadan tipik olarak yaklaşık 2 saat uzaklaşıyor.
- 6
Ranjı da hesapla
10 – 4 = 6 saat.
Çeyrekler ve çeyrekler açıklığı
Sıralanmış veriyi dört eşit parçaya bölen üç noktaya çeyrek denir. Q1 (birinci çeyrek, 25. yüzdelik) değerlerin %25’inin altında kaldığı nokta, Q2 ortanca (50. yüzdelik), Q3 ise değerlerin %75’inin altında kaldığı noktadır. Çeyrekler açıklığı (IQR) = Q3 – Q1, ortadaki %50’lik kısmın yayılımını gösterir ve uç değerlerden etkilenmez. Kutu grafiği (boxplot) tam olarak bu değerleri çizer.
Sekiz katılımcının kaygı puanı (sıralı): 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15
Ortanca (Q2) = (7 + 8) / 2 = 7,5
Alt yarı: 3, 5, 6, 7 → Q1 = (5 + 6) / 2 = 5,5
Üst yarı: 8, 9, 11, 15 → Q3 = (9 + 11) / 2 = 10
IQR = 10 – 5,5 = 4,5
Ranj = 15 – 3 = 12
| Ölçü | Güçlü yanı | Zayıf yanı | Hangi merkezi ölçüyle? |
|---|---|---|---|
| Ranj | Kolay, sezgisel | Yalnızca iki uç değere dayanır | Min–maks olarak betimlemede |
| Varyans | Analizlerin (ANOVA, regresyon) temel taşı | Birimi kare olduğundan yorumlanması zor | Genellikle raporlanmaz |
| Standart sapma | Orijinal birimde, tüm veriyi kullanır | Uç değerlerden etkilenir | Ortalama |
| Çeyrekler açıklığı (IQR) | Uç değerlere dayanıklı | Verinin yarısını dikkate almaz | Ortanca |
Deney grubunun son test ortalaması 72, kontrol grubunun 68’dir. Deney grubu daha başarılıdır.
Hastaların ortalama yatış süresi 9,8 gündür.
Katılımcıların (N = 250) akademik öz yeterlik ortalama puanı 3,62 (SS = 0,71), sınav kaygısı ortalama puanı ise 2,87 (SS = 0,84) olarak bulunmuştur. Öz yeterlik puanları 1,40 ile 5,00, kaygı puanları ise 1,08 ile 4,92 arasında değişmektedir. Ölçeklerin 1–5 aralığında puanlandığı dikkate alındığında öğrencilerin öz yeterliklerinin orta düzeyin üzerinde, sınav kaygılarının ise orta düzeyde olduğu söylenebilir. Haftalık çalışma süresi sağa çarpık dağıldığından ortanca ile raporlanmıştır (Mdn = 8 saat; Q1–Q3: 5–13; IQR = 8).
Kendini dene
Kendini dene
Kendini dene
Merkezi eğilim ve yayılım raporlama listesi
0/6Takıldığın bir yer mi var?
Bu konuda sık sorulanlar